当日投稿でもう一つ adventar.org の記事を書いてみました。
突然ですが、数学を勉強してると、以下のような疑問に突き当たるのは僕だけでしょうか？
これは分かってしまえばとても簡単なので、説明します。
結論をいうと、逆写像は集合の演算（AND, OR = 共通部分、合併）を保つけど、写像（を集合関数と見たもの）は保たない、からです。
それぞれ見ていきましょう。
写像と集合演算
例えば集合をX,YとしてXからYへの写像Fがあるとします。 Xの部分集合X1,X2に対してAND,ORしたものと、それらのFによる像 F(X1),F(X2) (=Yの部分集合) に対してAND,ORしたものを比較してみましょう。
- F(X1 and X2) ⊆ F(X1) and F(X2)
- F(X1 or X2) = F(X1) or F(X2) （これはOK）
像はAND演算を保ちません。写像は「行き先が一つに定まってれば良い」、つまり異なる入力に対して同じ出力があってもよいです。これは直感的には「写像を通すと情報が減る」という風に私はイメージしています。
逆写像と集合演算
同様のことを、今度はYの部分集合Y1,Y2を使って逆写像F^{-1}について考えてみましょう。逆写像は写像と違ってもともと集合関数です。
- F^{-1} (Y1 and Y2) = F^{-1} (Y1) and F^{-1} (Y2)
- F^{-1} (Y1 or Y2) = F^{-1} (Y1) or F^{-1} (Y2)
こちらはイコールになります！「逆写像を通しても、情報は減らない」し、「増えもしない（なぜなら入力よりも情報量が減ってるのだから当然）」から、「情報は同じ」です。それが「逆像が集合演算と可換」になることの直感的なイメージです。
つまりは、
位相空間における開集合や、測度空間における可測集合は、集合演算に対して閉じていることが要請されるので、well-definedな理論を作るにはその要請をキープするような写像を考える必要があるので、集合関数が集合演算と可換になってる必要があるので、逆写像で定義されるわけです。
余談: コホモロジーがホモロジーよりも重要になる理由
また、これと直接同じ理屈ではないのですが、「ホモロジーよりもコホモロジーの方が自然で使い勝手が良い」という、似た話があるので余談ですが紹介しておきます。
集合XとYがあり、X上で定義された関数F1と、Y上の定義された関数F2があるとします。値域はF1、F2とも例えば自然数だとしましょう。 （別に自然数じゃなくても連続値でもTrue/Falseの2値でも{男、女}でも{英語,日本語,中国語,ドイツ語,..}とかでも、なんでも良いです。機械学習の特徴量抽出とかのイメージでも良いです。）
それと、XからYへの写像fがあるとします。このときに、fとの合成を使って「新しい関数」を作る方法を考えてみましょう。
まず、F1とfの合成を考えてみましょう。F1はX上の関数ですが、x∊Xに対してF1(x)は自然数（値域の要素）になってしまい、写像fと合成が出来ません。またx∊Xに対して先に写像fを適用してしまうと集合Yのほうに舞台が移ってしまい関数F1は置いてけぼりです。なので合成が出来ません。
では、F2とfの合成はどうでしょうか？F2はY上の関数ですが、 x∊X に対して写像fで写すとf(x)∊Yとなり、関数F2を適用でき、F2(f(x))は自然数（値域の要素）となります。めでたく、Y上の関数F2からfとの合成によって新しい（X上で定義された、値域が自然数の）関数を作り出すことができました！！
（まだ私も勉強し始めたばかりですが）ホモロジーよりもコホモロジーのほうが出来ることが多い、っていう話はこういう理由から来てるようで、一見違いがないように見える部分にも「本質的な違い」が秘められてるという面白い例だと思います。
